Chủ đề này có 6 trả lời

[chuyentoan1998]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng 

$\sqrt{x+(y-z)^2}+\sqrt{y+(z-x)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}\geq \sqrt{3}$

[vutuanhien]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng 

$\sqrt{x+(y-z)^2}+\sqrt{y+(z-x)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}\geq \sqrt{3}$

Đặt $t=y-z$, $p=x-z$. Ta sẽ chứng minh $\sqrt{x+t^2}+\sqrt{y+p^2}\geq \sqrt{2(x+y)+(t+p)^2}\Leftrightarrow 4(x+t^2)(y+p^2)\geq (x+y)^2+4t^2p^2+4tp(x+y)\Leftrightarrow (x-y)^2+4xp(t-p)+4yp(p-t)\leq 0\Leftrightarrow (x-y)^2\left [ 1-4(x+y-z) \right ]\leq 0$

(đúng!).

Suy ra $VT\geq \sqrt{2(x+y)+(x+y-2z)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}=\sqrt{2(x+y)+(1-3z)^2}+\sqrt{z+(1-3z)^2}\geq \sqrt{2(1-z)+\frac{(1-3z)^2}{12}}+\sqrt{z+\frac{(1-3z)^2}{12}}=\sqrt{3}$

(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 01-06-2013 - 15:44

[nguyencuong123]

Mình thắc mắc 1 là sao 2 chỗ đỏ kia bằng nhau,2 là sao suy ra đc chỗ màu tím

 

Đặt $t=y-z$, $p=x-z$. Ta sẽ chứng minh $\sqrt{x+t^2}+\sqrt{y+p^2}\geq \sqrt{2(x+y)+(t+p)^2}\Leftrightarrow 4(x+t^2)(y+p^2)\geq (x+y)^2+4t^2p^2+4tp(x+y)\Leftrightarrow (x-y)^2+4xp(t-p)+4yp(p-t)\leq 0\Leftrightarrow (x-y)^2\left [ 1-4(x+y-z) \right ]\leq 0$

(đúng!).

Suy ra $VT\geq \sqrt{2(x+y)+(x+y-2z)^2}+\sqrt{z+(x-y)^2}=\sqrt{2(x+y)+(1-3z)^2}+\sqrt{z+(1-3z)^2}\geq \sqrt{2(1-z)+\frac{(1-3z)^2}{12}}+\sqrt{z+\frac{(1-3z)^2}{12}}=\sqrt{3}$

(đpcm)

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 02-08-2013 - 07:50

[vutuanhien]

Mình thắc mắc 1 là sao 2 chỗ đỏ kia bằng nhau,2 là sao suy ra đc chỗ màu tím

 

bạn không để ý giả thiết $x+y+z=1$ à

[Ha Manh Huu]

Mình thắc mắc 1 là sao 2 chỗ đỏ kia bằng nhau,2 là sao suy ra đc chỗ màu tím

 

theo cách của anh võ quốc bá cẩn thì ta có 1 cách nữa

giả sử $x\geq y \geq z$áp dụng bđt min cop ki ta có

$VT \geq\sqrt{(\sum \sqrt{x})^2+(x-y+y-z+x-z)^2}=\sqrt{(\sum \sqrt{x})^2+4(x-z)^2}$

bđt phải cm tương đương với $(\sum \sqrt{x})^2+4(x-z)^2\geq 3(x+y+z)\Leftrightarrow 3(x+y+z)-(\sum \sqrt{x})^2\leq 4(x-z)^2$

ta có $3(x+y+z)-(\sum \sqrt{x})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2+(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2\leq (\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{y}-\sqrt{z})^2+(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2=2(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2$(1)

và $4(x-z)^2=4(\sqrt{x}+\sqrt{z})^2(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2\geq 4(x+z)(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2\geq 2(x+y+z)(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2=2(\sqrt{x}-\sqrt{z})^2$(2)

từ 1 và 2 ta cps đpcm dấu = xảu ra khi x=y=0,5 z=0 (với đk $x \geq y \geq z$)

[nguyencuong123]

bạn không để ý giả thiết $x+y+z=1$ à

Thế theo giả thiết ta có x-y=1-3z ak bạn 

[vutuanhien]

Thế theo giả thiết ta có x-y=1-3z ak bạn 

Do tính đối xứng nên ta có thể giả sử $y\leq z$ và kết quả vẫn vậy . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 02-08-2013 - 17:48